На рис. 66 и рис. 67 представлен случай, когда бета положительна, и поэтому график рыночной модели направлен вправо вверх, т. е. при увеличении доходности рынка доходность актива будет повышаться, при понижении — падать. При отрицательном значении беты график направлен вправо вниз, что говорит о противоположном движении доходности рынка и актива. Более крутой наклон графика говорит о высоком значении беты и большем риске актива, менее крутой наклон — о меньшем значении беты и меньшем риске (см. рис. 68). При β = 1 доходность актива соответствует доходности рынка, за исключением случайной переменной, характеризующей специфический риск.
Если построить график модели для самого рыночного портфеля относительно рыночного портфеля, то значение у для него равно нулю, а беты +1. Графически данная модель представлена на рис. 67.
Коэффициент детерминации
Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить весь риск актива на дивесифицируемый и недиверсифицируемый, Графически специфический и рыночный риски представлены на рис. 68. Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:
Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, используют коэффициент детерминации (R2). Он представляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии.
Подставив данное значение в формулу (196), получим результат, который говорит о том, что коэффициент детерминации — это квадрат коэффициента корреляции.
R2 = (Corri,m )2 (197)
R2 = (Corri,m )2 (197)
В последнем примере R-квадрат равен 0, 1699. Это означает, что изменение доходности рассматриваемого актива можно на 16, 99% объяснить изменением доходности рынка, а на 83, 01% — другими факторами. Чем ближе значение R-квадрат к единице, тем в большей степени движение рынка определяет изменение доходности актива. Обычное значение R-квадрат в западной экономике составляет порядка 0, 3, т. е. 30% изменения его доходности определяется рынком. R-квадрат для широко диверсифицированного портфеля может составлять 0, 9 и большую величину.
Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей.
Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из ценных бумаг, то будем считать, что:
1) Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E ( ε i )=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n .
2) Дисперсия случайных ошибок
σ
ε
2
,
i
для каждой ценной бумаги постоянна.
3) Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.
4) Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.
5) Отсутствует корреляция между случайными ошибками ε i и рыночной доходностью.
Используя эти упрощения, можно получить выражения E ( ri ),
σ
i
2
и
σ i , j для любых ценных бумаг в портфеле:
Подведем итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии
a
i и
P
i позволя ет выразить с их помощью все начальные элементы ожидаемую доход ность E( ri ) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии
а
2
и ковариа
ции б i j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить
n
значений i,
n
величин
Р
i , n значений
<
, а также E ( rm ) и a 2 m . Следовательно всего потребуется найти: ( n + n + n +2) = 3 n +2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.
Котировки
